WOODYWORLD

22.9.14 수 중간고사 대비 수업 <2>

최우디 — Tue, 20 Sep 2022 23:45:03 +0900

오늘은 1과 본문 설명 + 모고 21번 설명을 했다

22.9.9 금 중간고사 대비 수업 <1>

최우디 — Sat, 10 Sep 2022 16:05:19 +0900

교과서는 영어2 능률 김

오늘은 본문1과 절반 설명 + 22년 고2 9월 34번 설명을 했다

이거는 저번에 한 32번

담주부터는 본문암기랑 기출문제 풀어야겠다

22.9.10 대문 업데이트

최우디 — Sat, 10 Sep 2022 01:42:07 +0900

<뉴>

수요 없는 공급인건 알지만 업데이트 해보았읍니다.

게임이론 기출문제 중간고사 풀이

최우디 — Sun, 28 Aug 2022 01:19:39 +0900

2022년 1학기에 들은 <게임이론과응용> 수업의 중간고사 풀이를 공유한다

90점 만점에 61점 받은 답안지라서 참고용으로만 쓰도록

일단 기업1과 기업2가 세일을 할때랑 안할때 각각의 케이스에 대한 이익을 표로 구한다

전체 고객 수를 K로 가정하였다

우월전략해를 갖기 위해서 여러가지 케이스를 점검한다

젤 먼저 i) 세일을 하는 것이 우월한 경우를 살펴보았다

이럴 때 성립한다

그 다음 세일을 안하는 것이 우월한 경우를 살펴보았다

아까랑 반대로 이럴 때 성립한다

베타의 범위도 구해야하는데 저렇게 구하는게 맞는건가 싶다

그 다음 1-2번 문제

혼합전략 내쉬균형에서는 선택 가능한 옵션의 기대보수가 모두 같다는 점을 이용했다

그러면 P를 구할 수 있는데 P는 세타에 비례하고 -> 정보를 아는 사람이 많을수록 세일하는게 유리

-> 세일하면 그만큼 더 많은 사람이 찾아옴

베타에는 반비례하다 -> 정보를 모르는 사람 중 기업1에 찾아가는 사람들의 비율이 높을 수록 세일하는게 불리

-> 어차피 기업1 찾아가니까 굳이 세일할 필요 x

좀 아리송하다

그 다음 2번

국가 간 무역하는 상황에서 관세율, 내수, 수출량, 시장가격을 구하는 문제이다

국가1의 생산자 이익 (파이1) 랑 국가2의 이익 (파이2)를 구하고

foc를 구해주면 된다. 조정할 수 있는게 h1, h2 ,e1, e2가 있으니까 잘 나눠서 식 1~4 를 구한다

식 1~4를 잘 연립하면 h1 h2 e1 e2를 xy에 관한 식으로 나타낼 수 있다

그 담에 추가적으로 파이1 파이2도 구한다

최종적으로 구해야 하는 것은 파이를 최대화 시키는 x랑 y의 값이다

먼저 x부터 구하면 국가1의 총 이익은 W1로 표현할 수 있다 이는 CS ( 소비자잉여 ) + 파이 + 관세이익으로 구했다

x는 W1을 x로 편미분하여 0이 되게 하는 값, 1/3이 나왔다

같은 방법으로 y도 구한다

정답은 이렇게 쌍으로 표현했다

3번은 무한반복게임 문제이다. 여러 시간에 걸친 게임은 할인인자 앱실론을 구해야 한다

경기자 1 입장에서 협조하거나 이탈(통수)하는 두가지 옵션이 있다

팃포탯, 그림 전략을 각각 쓰니까 일단 첫판에는 상대가 협조한다 (통수쳐서 이득보는게 가능)

그래서 경기자1이 협조하기로 맘먹으면 평생 3의 보수를 얻을 수 있다

이탈하기로 맘먹으면 처음엔 5의 보수를 얻고 이후로는 1밖에 얻을 수 없다

경기자 2가 무자비 전략(grim)을 사용하므로 아무리 싹싹빌어도 절대 협조해줄 일이 없다

무자비 전략

5가 1보다 큰데 협조안하고 이탈할 이유가 있냐?

있을 수도 있다. 오늘만 사는 사람은 당장 한탕 해먹는게 중요할 수도 있으니까 = 앱실론이 아주 작다

(3,3) 이 내쉬균형으로 달성되려면 경기자 2 입장에서도 협조하는게 이득이어야 한다

경기자2의 협조했을 때 보수와 이탈했을 때 보수도 구해서 앱실론의 범위를 계산한다

앱실론 범위 두개를 합쳐주면 끝

3-2 문제

부분게임일 경우에는 거꾸로 생각하면 된다

무한반복게임이라고 했는데 만약에 그게 아니라 원샷(한판) 게임이면?

경기자 1 입장에서 협조할까 이탈할까?

1. 경기자 2가 협조하는 경우 -> 협조하면 3, 이탈하면 5 = 이탈하는게 이득

2. 경기자 2가 이탈하는 경우 -> 협조하면 -1 (손해), 이탈하면 1 =이탈하는게 이득

따라서 경기자 1은 이탈하는 것이 우월전략이고, 경기자 2도 마찬가지이다

서로 이탈하는게 이득

그래서 부분게임완전균형은 서로 이탈 (D,D)가 되는 것이다

마지막 4번

호황일때랑 불황일때 담합할지 말지 고민하는 문제이다

만약 담합을 하면 이득이 얼마나 되고 안하고 경쟁하면 이득이 얼마인지 구해보았다

추가적으로 마지막에는 한쪽이 배신했을 때 이득도 구했다

이번에는 호황일때랑 불황일때를 나눠 계산하였는데 기억으로 아마 풀이가 정확하지 않았던 것 같다

고칠 시간이 없어서 그대로 낸 것 같은데 책에 있는 연습문제를 참고하는 게 좋을 듯

암튼 이런 해석이 현실적이냐?의 답은 No다

왜 비현실적이냐면 경기 변동에는 상관관계가 있기 때문에 기대 보수가 달라지기 때문이다

여기까지가 중간고사 리뷰이다

틀린게 많은것 같은데 열심히 한 내 정성이 아까워서 올려봤다

참고가 됐으면 좋겠고

나같이 못해도 A+받을 수 있으니까 다들 열심히 했으면 좋겠다 화이팅!

계량경제학 기말고사 문제풀이

최우디 — Fri, 10 Jul 2020 00:42:50 +0900

중간고사가 4개나 더 남아있다

2016, 7, 8, 9

지금까지 잘 따라왔다면 남은 것들도 아마 잘 풀어낼 수 있다

원래는 기말고사가 대면시험이었는데

코로나 재확산으로 기말고사도 과제제출로 대체되었다

다행히 이번에는 교수님이 8개년치 기출 풀어오기가 아닌

새로운 문제 10개를 풀어오기를 내주셨다

요약: 중간고사 대비 기말고사 과제의 점수 평균이 낮아졌다

a+ 또는 a를 맞은 사람은 전체의 53퍼센트이다

기말고사 과제의 평균값은 10.66 최고점은 30.15 중앙값은 8.78이다

그렇다면 내 점수는??"?

아무튼 나는 a+ 받았음 ㅋㅋ

그럼 이제 기말고사 문제를 대충 풀어보자

1번과 2번은 매트랩 코드를 쓰는 문제다

매트랩을 쓸 필요가 없으면 그냥 넘겨도 된다

데이터를 로드하고 변수를 선언해라

맨 윗줄은 안써도 된다 명령창 깨끗이 하는 거니깐

ones()가 1로 이루어진 행렬임

F test를 해야된다

귀무가설H0을 R을 이용해서 다시 정리해야하는데

교수님 자료

이런식으로 한쪽으로 다 이항해서 어쩌고 =0 꼴로 만든다음에 Rb-r=0 꼴로 바꿔야한다

F test가 많이 복잡하니까 RRSS랑 URSS를 먼저 선언해두고 나중에 이용하면 편하다

Ftest안에 J랑 k가 있는데 이게 뭘 의미하는지 잘 파악해서 J도 선언하고 k도 선언하자

J는 R의 행의 갯수 // k는 x의 열의 갯수

finv가 뭐냐면

출처 교수님

이거라고 가르쳐주셨다

해보면 fc가 더 커서 귀무가설 기각 못함

F test의 2번째 형태이다

F가 또 복잡하니까 괄호별로 따로 선언해서 이용했다

이렇게 정의했다

위에꺼랑 ftest 값이 같아야한다

2번은 실제 데이터로 계수들을 구하고 테스트하는 방법을 묻고있다

b는 어떻게 구할까요

b를 구할라면 y도있어야하고 아무튼 다 선언되어있어야하는데

교수님이 대뜸 b를 구하세요라고 해서 잘 실감이 안되니까

그냥 데이터 있다고 치고 다 선언한 다음에 b를 구하는 식을 썼다 ols 이용해서

위에 여섯줄은 안써도 될지도 모른다

t value는 어떻게 구할까

t value는 베타를 b의 standard error로 나눠주면 된다

standard error를 구하려면 분산값을 알아야하고 그거 알려면 시그마제곱이 뭔지 알아야한다

그래서 e부터해서 선언해서 마침내 b의 t value를 구했다

근데 문제에서 b4의 t value를 구하랬으니 tb 중에서도 4번째 줄에 있는 값 tb(4,1)이 정답이다

여자고 백인아니고 조합원이 아니면???

dummy variable 이 0인지 1인지 구별하는 문제다

이번에는 interactive variable이었나 아무튼 성별X연차를 변수로 만들면 된다

그래서 새로운 x인 xxx를 만들어서 b를 구하면 된다

매트랩 clear

(a): mle가 unbiased하고 시그마제곱이 biased한걸 증명하세요

mle가 뭔지 간략히 설명했다

일계도함수 foc 계산하는 방법은 교수님이 모르면 패스하랬음

그래서 중간 과정없이 강의자료대로 베껴 썼다

그래서 mle를 구해보니 ols랑 형태가 똑같다

ols는 가우스 마르코브 이론에 따르면 BLUE이니까 ml도 불편향이다

y빠 (y의 평균)에 기댓값도 y빠라 불편향 맞다

이번에는 시그마제곱

Likelihood function인 L을 시그마 제곱으로 미분한걸 0이라고 두면 (FOC)

시그마제곱ml을 구할 수 있고

구해보니 ols랑 달라서 얘는 편향이겠구나~ 결론지었다

mle가 이번에는 efficient한거랑 s2이 불편향이지만 CRLB를 만족하지 못한다는 것을 보이란다

efficient하다는 걸 어떻게 증명할까? CRLB를 구해서 var(뮤ml)이 CRLB랑 같음을 보이면 되겠다

그렇다면 CRLB를 먼저 구하자

이런식으로 CRLB를 구했다

그 다음에는 뮤ml의 분산을 구해야하는데 뮤ml이랑 뮤ols랑 아까 같다는 걸 알았으니까

원래 알고 있었던 뮤ols 분산을 뮤ml 분산 대신 쓰도록 하자

CRLB랑 같은가?

같다

그다음 s2의 불편향 이거는 중간고사 때 많이 해봤다

불편향임

s2의 분산도 구해봤다

CRLB는 분모가 N-1이 아니라 N이라서 s2의 분산보다 작다

그래서 CRLB 실패

x2가 없는데 있다고 착각한 경우이다 extraneous variable인가 단원명이 그랬던것같은데

two step regression을 쓰라고 가르쳐주셨다

투스텝하니 생각나는데 예전 게시글에 내가 two step이랑 two stage랑 같다고 한 것 같은데 두개가 다른거였다

2sls가 2 stage인데 2step이랑 미묘하게 다르니까 어디가서 두개가 같은거라고 하면 무식해보이니 조심하자

아무튼 b2의 기댓값은 0임

같은방식으로 b1의 기댓값을 구해보면 이번에는 b1이 나온다

이번에는 두개의 분산을 비교하라는 문제다

저번에 틀렸을 것 같다던 R-squared 문제도 이런식으로 비교했으면 더 좋은 점수 받았을 것 같은데 아쉽다

시그마 tilde가 ... tilda가 아니었다 이것도 착각하고 있었음

이딴식으로 나오길래 대충보고 tilda가 맞는 줄 알았는데...

자세히보면 착각ㄴ이라고 써있음

아무튼 다시 돌아와서 큰거끼리 곱한게 당연히 작은거끼리 곱한것보다 같거나 크므로

시그마 햇 제곱이 더 크다

+왜 저게 더 큰가요?

이게 성립해서요

타입2에러가 왜 커질까요?

분산이 커진다 -> t분포 꼬리가 두꺼워진다 -> 임계값이 커진다 -> 기각하기 어려워진다 = 타입2에러

x1에 에러가 포함되는 경우 어떻게 해야하나

inconsistent한걸 보이기 위해 일단 b를 구한다

예전에 ols 했을 때 consistent한거 증명할때 y를 원래 식으로 바꿔줬듯이 이번에도 바꿔준다

이걸 참고해서 확률수렴하면

이렇게 된다 베타앞에 이상한 계수가 달렸기 때문에 원래 b1이랑은 달라지는 것

그래서 inconsistent

1. error가 엄청클 때

시그마제곱u가 커짐 -> 분모 커짐 -> 0으로 수렴

2.아예없을 때

시그마제곱u가 0이 됨 -> 분모분자 약분됨 -> b1이랑 똑같아짐

b1을 consistent하게 만들려면 어째야 하나

여러 가정들을 추가하면 된다

x랑 u랑 독립이고 w랑도 독립이면 적어도 consistent한 값을 얻을 수 있음

아니면 틀린 관측값 쓰지 말고 적당한 값을 쓰던가...

문제의 6번

결과를 보고선 해석하는 문제인데

내가 잘 안들었나 교수님이 휘리릭 가르쳐주셨나 모르겠지만 잘 몰라서 야매로 해석했음

lagged value를 쓰는 이유? x 사이에 연관성이 있을까봐 비교적 상관없는 옛날 값을 쓴다

1번2번보고 느낀점을 쓰시오

f값이 줄었네? x가 더 좋아졌나보다

t값도 5% 유의수준에서 괜찮다니... 이자율은 꽤 괜찮은 x일지도? 랄까..

=> 자신없음

f값 올랐어? x가 구려졌다

t값도 유의수준 밖이야? 새로운게 별로 맞네

=> 자신없음222

f값 줄었어? x가 좋아졌다

어 근데 t값보니 유의수준 밖이야? hoxy ... multicollinearity 문제 아닐까?

=> 자신없음333

헤테로스케데스티시티문제 heteroskedasticity 인듯

시그마= TT'라고 하자

새로만든 y*으로 ols 를 하면 고걸 b gls라고 한다

중간에 시그마가 껴있는게 특징임

b gls의 편향을 알아보기 위해 기댓값을 구해보면 b가 나온다 ->불편향

그 다음 variance covariance matrix 구하는법

변수 갯수보다 식 갯수가 더 많은 경우

모든 식이 만족되지 않을 수 있다

그럴 땐 어떻게 해야할까

그냥 쓰고 싶은 식만 골라 쓰는 것도 방법이지만 그러면 너무 지맘대로같으니까

프로젝션을 이용한다

생각해보니 b iv를 구하는 법을 설명을 안해서 b iv 구하는 법을 설명했다

아까 구해둔 x햇을 z대신에 쓴게 이제 l이 k보다 클 때의 상황이다

근데 x햇을 z랑 x로 바꿔보면 결국 약분되어 사라지고 원래 식만 덩그러니 남는다

원래식이 남는다는 말은? 프로젝션을 이용하면 원래랑 같은 값을 구할 수 있다 (?)

2sls 하는 법을 먼저 알아야지 같은지 안같은지 알 수 있겠죠?

이런식으로 이뤄집니다

근데 아까 구한

첫번째 줄 식을 잘 변형하면 2sls 처럼 만들 수 있습니다

분포수렴 하라는 말 같다

참고사항을 잘 이용해서 분포수렴 하면 된다

외우는 부분이니까 pass

둘이 무슨 사이야?

GMM이 뭔지 알아야 얘길하지

이건데 그래서 b GMM이 뭔데

FOC를 이용하면 이렇게 x랑 z랑 w랑 y를 이용해서 표현할 수 있다

근데 갑자기 optimal weight를 이용하면?

GMM이 2sls 모양으로 바뀜

결론은 optimal weight를 이용한 GMM이 2sls 였던 것

멀티콜리니어리티를 어떻게 알 수 있을까?

열심히 강의자료를 베껴쓰면 된다

1번 제로 오더 코릴레이션 이용하기

2번 부분 회귀식 이용하기

그것도 싫으면 3번 f test 이용하기

계량 경제학 끝!

생소한 수학 개념이라 어려웠던 점도 많았지만 매트랩도 써보고 회귀식이라는 것도 배워보고

나름 유익하고 재밌는 시간이었다

사실 중간고사 점수가 좋아서 기말고사 과제는 부담없이 했다

그래서 설명도 짧고 틀린 것도 많을 수 있으니 이걸 보는 사람이 이해해줬으면 좋겠다

아무튼 나는 다음 주에 군대간다 ㅋㅋ 모두 군바

完

계량경제학 중간고사 공략4

최우디 — Mon, 1 Jun 2020 19:43:16 +0900

오늘은 2014 중간고사 기출을 풀어본다

correlation에 대한 문제이다

공식을 알고 있어야 하는데

이렇다

분자에 있는 시그마 xy , 즉 xy의 공분산은

이렇게도 구할 수 있다

E(xy)가 문제인데

y를 x로 고쳐서 x를 곱해주면 된다

correlation 식에 대입하면

일반적으로 성립하지 않으니까 false

n이 커지면 consistent한 estimator는 어떻게 될까?

consistent한 estimator인 표본분산을 가지고 왔다

consistent한건 n이 무한대로갈때 분산이 0으로 수렴함을 보이면 된다

문제에 나와있는대로 n이 무한대로 커지면 기댓값이 시그마제곱으로 수렴한다

즉 불편향이 되어버림

그래서 true

Gauss markov Theorem에 따르면...

classical assumptions 5개가 만족될 때 ols가 blue(best linear unbiased estrmate)이라고 했으므로

가장 효율적이다

그래서 true 라고 했다 (확실하지않음)

봉우리가 튀어나온게 정규분포고 더 평평한게 t분포다

임계값은 정규분포일때 더 평균과 가깝다

그렇기 때문에 정규분포로 했을 때 기각안하면

t분포일 때도 기각되지 않는다

그래서 true

알파랑 베타의 관계식에서 알파의 계수 T를 구하면 되는구나 싶었다

일단 주어진 식을 정리한다

x를 기준으로 계수들을 묶어주었다

계수비교법으로 각 x들의 계수를 같다고 둔다면

T를 구할 수 있다

이렇게 하는게 맞는가 싶다

그다음 OLS를 구한다

a ols에 w에다가 xt를 대입하면 된다

그럼 아까 식 Ta=b에서 T를 이항한 꼴로 나온다

e햇과 u햇을 어떻게 구할까? y에 프로젝션 Q를 곱해주면 된다

Q는 I-P이므로 먼저 P를 구한다

결과적으로 P1이랑 P2가 같다

자동으로 Q1이랑 Q2도 같아진다

Q1을 곱해주면 e햇나오는 거고 Q2 곱해주면 u햇나오는 거였는데

곱해주는 값이 같으니 나오는 값도 같다

투스텝 리그레쎤을 또 하란다

전에 해봤던 거니까 간단히 넘어감

그 다음 불편향인지 체크하깅~

y를 원래식으로 바꿔서 대입한다

불편향이다 이말이야

베타2.... 시무룩??은 불편향일까?

저번에 했던 베타2바랑 비슷하다

당연히 편향이다

다만 x1이랑 x2가 직교하면 불편향임

직관적으로 그림을 이용해서 뭐가 다른지 표현하라신다

신유형이다!

다른 거를 표현하기 위해서 가로축에 x2를 쓰고 세로축에 x1을 썼다

뻗어나가는 y에서 x2에 수선의 발을 내리면 x2b2햇이 된다

그리고 세로축 x1에 평행하게 선을 그어 내리면 x2b2틸다가 된다

x1이랑 x2가 직교하지 않으면 두개는 같을 리가 없음

또 신유형이다!!

u틸다가 y바 어쩌고가 되는지 보이란다

b1틸다 b2틸다가 주어졌다니까 대입하면 이런 식으로 쓸 수 있겠다

우리가 궁금한건 u틸다니까 좌변에 u틸다만 남기고 나머지는 다 우변으로 옮겼다

y바와 같이 평균값을 만들어주려면 Pl을 써야한다는 걸 생각해내자

양변에 Pl을 곱해주었다

그러면 문제에서 시킨대로 증명이 된다

에러e의 평균은 0이다 왜? 그냥 그렇게 하기로 했었다 고전적 가정들에서...

2014 完

2015는 교수님이 수업 안하셔서 다음엔 2016이다

계량경제학 중간고사 공략3

최우디 — Thu, 28 May 2020 15:44:17 +0900

이번엔 2013년도 중간고사 기출문제를 다룬다

2019까지 있는데 언제 다 하나 걱정이다

sample variance는 저번에도 했던 내용이니까 생략하고

앞에 두개만 해보자면

나는 var에 극한을 취해서 그게 0 나오면 consistent라고 판별했다

x바는 x의 평균이니까 시그마로 x 다 더한다음에 n으로 나눠주는 값과 같다

x1이나 x2나 x3나 기댓값을 취하면 평균 뮤가 나온다

var을 붙이면 x1 x2 x3 모두 시그마 제곱이 나온다

3번과 4번은 설명생략 ( 이전 게시글 참고 )

저번에도 나왔듯이 fitted residual은 e햇을 의미한다

1번식을 2번식 형태로 바꿔줘서 e랑 e스타가 같다는 걸 보일 건데

그러려면 x1을 없애줘야 한다 2번식에는 x1이 없으니깐

Q1= I-P1은 x1을 없애라는 뜻이니까

양변에 곱해주면 x1이 사라진다

여기까지 구해주고 2번식을 다시 들여다본다

스타로 쓰지 말고 풀어쓰면 이렇게 쓸 수 있다. 마지막 줄 식을 A라고 하자

벌써부터 아까 계산한 식과 비슷하다

그렇지만 모르는 게 두 개 ( 감마2햇과 e스타햇) 이니까 같다고 하긴 좀 그렇다

e스타햇이 같다고 하고 싶으니 감마2햇이 같은걸 보이면 되겠다

OLS를 이용해서 감마햇을 구하자

이번엔 베타2햇을 구해본다

OLS 써도 되지만 아까 구한 A식에다가 x2'를 구하면 베타2햇이 금방 구해진다

그럼 베타2햇이랑 감마2햇이랑 같다는 걸 알 수 있다

그렇다는 말은?

이 식이랑

이 식이랑 같다는 말

그래서 e햇이랑 e햇스타랑 같다

문젤 다시 읽어보니 coefficient (계수)인 감마랑 베타가 무슨 관계냐고도 물어보셨네

이미 증명했으니까 잘 정리해서 쓰면 된다

저번에도 했듯이 확실하진 않지만 y스타가 y보다 작을 것이라고 예상되므로 R squared도 이런 식이 된다

갑자기 옥타브 코드를 쓰래서... 손코딩을 하라 해서 당황했다

two step regression ( two stage) 는 먼저 x2 스타랑 y스타를 구해야 한다

그전에 프로젝션 p랑 q를 정의하자

x1= x(1,1);

x2=x(1,2);

x라는 행렬에 1,1 에 해당하는 x1을 따로 정의했다 하는 김에 x2도...

p1= x1*inv(x1'*x1)*x1';

n = size(b2,1);

밑에 단위행렬 I ( eye(n) )를 쓰려고 하니 단위행렬의 사이즈를 모르길래 정의했다

q1= eye(n) - p1;

이제 x2스타랑 y스타를 정의하자

x2star= q1* x2;

ystar= q1* y;

그다음엔 ols를 이용해서 베타2틸다를 구하면 된다

b2tilda= inv(x2'*q*x2)*x2'*q*y;

b2틸다를 구했으면 식에 대입해서 b1틸다를 알아내면 된다

y - x2* b2tilda = x1 * b1tilda + e

이 식에다가 x1'를 양변에 곱해주면 e가 사라진다

x1' * (y - x2* b2tilda ) = x1' * x1 * b1tilda

이제 우변에 b1tilda만 남기고 나머지를 이항 해주면 b1tilda를 구할 수 있다

b1tilda= inv(x1'* x1) * x1' * (y - x2* b2tilda ) ;

오류가 날 수도 있다 매트랩에서 실행 안 해봤다 아무튼 대충 이런 느낌~

b1틸다랑 b2틸다 불편향인지 보이랜다

저번에 했던 것 같은데... b를 불편향인지 알아보고 싶으면 ols로 구한 b 속에 y를 원래 식으로 바꿔 쓰라고

바꿔 쓴 다음에 괄호를 풀고 분배 법칙 해주면

( I - P2) 때문에 x2는 사라진다

노란 부분도 인버스 되어있는 거랑 안 돼있는 거 곱해져서 약분되는데 왜 저기 남겨뒀는지 모르겠네

기댓값을 취하면... (노란 부분은 생략되어 다 날아감) E(e)=0 이라 두 번째 항이 0으로 사라진다

첫째항에 B1만 달랑 남게 됨

E(b1)= b1 당연하다~

같은 맥락으로 b2도

불편향임

틸다랑 햇이랑 무슨 사이냐고 물어보는 문제다

2step으로 하나 ols로 하나 결과가 같기 때문에 틸다랑 햇이랑 똑같아야 맞는 답이다

첫 번째 줄에 i랑 j써서 괜히 어렵게 써놨는데

별거 없고 그냥 b1틸다 b2틸다 주절주절 쓰기 귀찮아서 그랬다

아까 3(a)에서 했던 내용과 비슷하게 하면 b2햇 ols 를 구할 수 있다

아무튼 b틸다 = b햇임

이번엔 베타2바가 등장했다

x1의 영향력은 무시한 채... 그냥 x1을 생략한 다음 ols를 취해줬구나!!

결론부터 말하자면 x1'x2가 = 0이 아니라면 b2바는 biased하고 b2틸다나 b2 햇이랑 다른 값을 갖는다

x1'x2=0이라는 얘기는 x1이랑 x2가 독립이라 서로 영향력이 없다는 얘기와 같기 때문이다~

불편향인거 검사하려면 y를 식으로 바꾸자고 했다

그래서 얘도 바꿔주면 된다

세 번째 항 (노란 부분) 은 기댓값 취해주면 0이 되어 사라지니까

결국 마지막 줄처럼 정리할 수 있다

불편향이 되려면 첫 번째 항 (b1 있는 항)이 0되어 사라져야 하는데...

그러려면 x1이랑 x2가 orthogonal 해야 한다 안 그러면 편향임

중복되는 게 점점 많아져서 꽤 금방 쓴 것 같다~!! 뿌듯하다

계량경제학 중간고사 공략2

최우디 — Sun, 24 May 2020 04:52:34 +0900

오늘은 2012년 중간고사 기출문제를 풀어보자

참 거짓 판별 문제이다

누적 분포 함수는 항상 증가하는가? 그렇지 않다

값이 같은 부분이 있을 수 있기 때문이다

카이제곱 분포는 보다시피 분모와 분자가 모두 양수이다

그래서 음수 값을 갖지 않기 때문에 대칭이라고 할 수 없다

불편향하고 편향 estimator 중에 항상 불편향만 쓰냐는 말인데

그렇지는 않은 것 같다 그때그때 원래 값을 추정하는데 더 유용한 걸로 쓴다고 답했다

t분포는 정규분포보다 꼬리가 두껍다 그래서 같은 수준의 significance level이라면 임계값 cv가 더 벌어진다

만약에 정규분포일 때 관측값이 양쪽 임계값 사이에 있었다면 t분포로 해봐도 임계값 사이에 있게 될 것이다

그래서 트루

파워 1 - B는 significance level에 비례한다 왜냐하면

significance level 이 늘어나면 cv가 평균에 더 가깝게 이동하고 그러면 파워 부분은 색칠한 만큼 더 커지기 때문이다

a는 참인데 거짓이라고 판별하는 경우의 확률이다

67이나 69나 평균 68로부터 떨어진 거리가 같기 때문에 69를 가지고 z를 구해준다

모분산을 알고 있으니 t분포가 아니라 정규분포 z를 이용했다

two sided test 이므로 두배 잊지 말자

이번엔 B를 구하라는 문제이다

지금 보니 내가 풀이를 좀 잘못썼다

굳이 파워 1-B를 구할 필요가 없는데 좀 돌아갔다

아무튼 간 B는 67 <y <69에 해당 하는 확률 값 (노란색으로 칠한 부분)에 해당한다

나같이 멍청하게 1-b 구한 다음 b를 구하진 말자

문제를 읽어보니 조건이 이렇다

2 stage regression에 해당하는 부분임을 알 수 있다

처음에 문제 풀 때 fitted residual이 뭐지?? 하고 구글에다가도 열심히 찾아봤는데 잘 안 나왔었다

아마 e햇을 말하시는 것 같다...

e햇은 어떻게 구하냐면 y에 Q 프로젝션을 하면 되는데

나는 그냥 두 식이 같다는 걸 보여서 e햇끼리도 같다고 설명했다

그래서

감마햇은 ols를 이용하면 이렇게 풀어쓸 수 있다

I-P나 P는 멱등행렬이고 대칭행렬이기 때문에 '를 하던 ^2 하던 상관없다

1번식하고 2번 식이 왜 같냐면

1번 식에다가 I-P를 곱해주고 X2' 곱해주고 B2햇 빼고 나머지 이항 해주면

아까

이거랑 B2햇이 같은 걸 알 수 있다

그 말은 뭐다?

이렇기 때문에 혼자 남은 e햇도 같아질 수밖에 없다~

R squared는 어떤 관계가 있는가?라는 문제다

틀렸을 것 같은 문제다

아무튼 나는 대소를 비교해봤다

R squared가 원래 1-ESS/TSS이므로 (다른 사람들은 ESS를 SSE라 하고 TSS를 SST라고 하더라)

r1 squared 하고 r2 squared를 이렇게 구할 수 있다

e햇하고 e햇*가 같다고 (a)에서 구했놨었고 y보다 (I-P)y가 작다고 생각했다

왜냐하면 I-P가 x에 관련된 부분을 빼는 것과 같으니

y*는 뭔가 빠진 거니까 원래 y보다 더 작아지지 않았을까?라고 생각했기 때문이다

아무튼 그러면 r1이 r2보다 크다

아 그리고 생각해보니 변수가 한 개 더 늘었으니 X1 (2번 식에는 X2 만 있고 X1은 없음)

R squared가 커지는 게 맞는 거 아닌가?

...

다른 사람들 답안도 봤는데 명쾌하게 푼 사람이 없었다

다들 틀리는 건 나도 틀려도 괜찮지 않을까?...

마지막 문제다 ppt에 있는 증명을 외우면 되는 문제다

asymptotically라는 말이 나오면 y를 xB+e로 바꿔준다

그러면 B햇이 B+ X'e/X'X 꼴로 바뀐다

그리고 약분해서 없어지는 N을 분자 분모에 곱해준다

B는 당연히 B로 확률수렴하고 x'x/n은 Mxx로 확률수렴한다

Mxx가 뭔지는 잘 모른다 E(X^2) 인 것 같은데 교수님도 그냥 외우라고 하셔서 ㅋㅋ 그렇구나 하고 넘어갔다

이해하고 싶은 사람은 책을 보면 될 것 같다

나는 처음엔 책 보다가 양이 너무 많아서 그냥 피피티만 보는 걸로 타협했다 ㅋ.ㅋ;;

사실 여기선 Mxx가 중요한 게 아니고 X'e/N이 0에 확률 수렴한다는 게 더 중요하다

Mxx에 0을 곱해주면 0이 되어 사라진다

그래서 B햇ols는 B로 확률수렴하므로 consistent하다

이번엔 점근적으로 정규분포를 따르는지 알아보자

Bols가 정규분포를 따르는지 알고 싶으면 B를 넘기고 양 변에 루트 N을 곱해준다

우변의 N하고 루트 N하고 헷갈리지 말고 잘 써야 한다. 두 개 곱하면 루트 N 나오는지 체크하자

p화살표는 확률수렴이고

d화살표는 분포수렴이다

X'e/루트 N은 정규분포를 따르고

정규분포에다가 1/Mxx를 곱해준 건 분산 정도만 바뀌고 정규분포인 거는 바뀌지 않는다

그래서 루트앤곱하기 베타햇빼기 베타는 정규분포가 된다

뭘 빼고 곱해줘도 정규분포인 거는 안 바뀌므로 당연히 베타햇도 정규분포다

참고. Mxx는 대칭이기 때문에 '를 떼어줘도 괜찮다

마지막으로 시그마햇제곱을 알아본다

시그마햇제곱은 이햇제곱의 평균과 같다

이햇은 Qe이니까 고쳐 써주고 Qe는 벡터니까 시그마가 생략된다

Q도 멱등행렬 대칭행렬 이니까 ' 떼고 제곱도 떼서 정리했다

그 담엔 Q를 I-P로 바꿔 쓰고 괄호를 풀어줬다

마지막으로 1/N을 분배해주고 e는 다시 시그마 꼴로 고쳐 썼다

굳이 시그마 꼴로 고쳐야 하나 싶지만 저런 식으로 ppt에 나와있었으므로 그냥 똑같이 따라 했다

뒤에 항에는 약분되어 사라지는 N을 곱해줘서 결과적으로 1/N만 곱한 게 되게끔 해줬다

왜 저렇게 바꿔주냐면 아까도 이용했듯이 우리가 x'e/N 하고 x'x/N 의 확률 수렴 값을 알기 때문이다

이렇다는 점을 이용해서 대입해주면

시그마햇제곱도 시그마제곱에 확률수렴한다~ 즉 consistent 하다는 걸 알 수 있다

2012 중간 完

계량경제학 중간고사 공략1

최우디 — Sat, 23 May 2020 03:57:19 +0900

우리 교수님은 중간고사 대신에 기출을 풀어오라는 과제를 내셨다

그래서 문제를 푸느라 2주동안 고생하고 느낀 점은 OLS에 대한 설명은 구글에 찾아보면 많이 나와있는데

문제 풀이가 별로 없다는 점이다

다 개념설명만 해놓으면 나같은 사람은 문제를 어떻게 푸나? 짜증이 났다

그래서 과제 제출도 끝났겠다 내 솔루션을 공개한다

시험 범위는 대략 OLS 끝까지이다

내 블로그에는 OLS 끝까지 설명이 되어있지 않으니 다른 자료를 참고하면 된다

잠깐!! 내 풀이는 40점 만점에 32점을 받았다. 그니까 틀린게 좀 섞여있다

내 틀린 풀이를 참고하다가 불이익을 받아도 나는 책임지지 않는다. 그냥 참고만 해라

교수님은 솔루션을 공개하지 않았기 때문에 뭐가 틀렸는지 모르겠다

2011 mid

joint 확률밀도함수가 나왔다

a를 구하려면 Px가 뭔지 알아야한다 왜냐면

이렇게 분모에 들어가기 때문이다

Px를 어떻게 구하냐면 가능한 y구간을 적분구간으로 두고 적분해주면 된다

문제 조건에서 y는 x랑 1사이에 끼어있으니까 x부터 1까지 적분하면 된다

E(Y)는 기존에 p(x,y)식에다가 y곱해주고 y 가능한 구간 [x,1] 적분해주면 된다

계산실수 했을까봐 걱정된다

cov가 0이면 독립이고 아니면 독립이 아니다

공분산은 이런식으로 구할 수 있다

아무튼 0이 안나온다

독립아님

그리고 경제통계학수업에서 배운건데

문제 조건이 이럴 때 만약 x가 1이면 y는 꼼짝없이 1이어야하는 관계니까 서로 독립적이지 않다고 하셨던 것 같다

야매같아서 차마 과제에는 이렇게 쓰지 못했음

계속 나오는 유형의 문제이다

mse는 이런식으로 구할 수 있다

s^2는 unbiased라고 배웠다 그래서 그냥 bias는 0인거 알지만 과정을 한번 써봤다

분산은 이런식으로 구할 수 있다

V는 카이제곱 분포를 따르니까 평균은 n-1 분산은 2(n-1)임을 이용했다

그래서 MSE는 이렇다

이번엔 s1을 알아보자

s1의 MSE를 따로 쓰지는 않았는데...

아무튼 두개 비교하라 그랬으니 빼줬다 달라진 점은 2가 괄호안으로 들어갔다는 점이다

계산해봤더니 s1의 MSE가 더 작더라~ 이말이다

MSE가 작으면 더 효율적이고 더 좋은거 아닌가??? 하면서 왜 s1이 더 좋다고 나오는지 한동안 고민했는데

효율성은 unbiased estimator끼리 비교하는 거라서 biased한 s1은 해당이 안되는 얘기였다

단원 이름을 까먹었다 중간 끝났다고 한 2주 놀아서...

아무튼 가설검정 문제가 나왔다

p값은 맨날 봐도 맨날 헷갈린다

한국어로 유의 확률이라고 하는데

통계적 가설 검정에서 유의 확률(有意確率, 영어: significance probability, asymptotic significance) 또는 p-값(영어: p-value, probability value)은 귀무가설이 맞다고 가정할 때 얻은 결과보다 극단적인 결과가 실제로 관측될 확률이다. 실험의 유의확률은 실험의 표본 공간에서 정의되는 확률변수로서, 0~1 사이의 값을 가진다.

확률 변수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

위키백과, 우리 모두의 백과사전. 확률론에서, 확률 변수(確率變數, 독일어: Zufallsvariable, 영어: random variable)는 확률 공간에서 다른 가측 공간으로 가는 가측 함수이다. 이는 확률적인 과정에 따�

ko.wikipedia.org

라고 위키에 나와있다

그니까 관측값보다 더더더 극단적인 값이 나올 확률인 것이다

그렇기 때문에 이 p값이 작으면 관측값이 굉장히 드물게 나오는 값인 거고

그말은 즉 뽀록... 참이 아닌 값일 가능성이 높다는 이야기이다

그래서 signifiance level 하고 비교해서 작으면 가설 기각하고 크면 기각을 안하는게 테스트이다

표본분산만 알고 있기 때문에 T분포를 써야한다

그리고 H가양측 검정(?) 이기 때문에 2배를 해줘야 한다

이렇게 값이 너무 작아도 문제, 너무 커도 문제기 때문이다

아무튼 그래서 p값이 더 작기때문에 H0는 아주 예외적인 경우일 가능성이 많다~ 해서 기각한다

파워를 구하란다 1-베타= 파워 임을 잊지말자

스케일이 부정확하다

까먹고 베타=파워라고 써놨다가 눈물을 흘리며 과제를 수정했던 기억이 난다

아무튼 파워는 저렇게 true mean을 기준으로 확률 분포를 그리고

기존 평균 기준 임계값critical value보다 크거나 작은 부분에 색칠하면 된다

새로 그린 분포의 확률변수를 Y라고 했다

모분산을 모르기때문에 역시 T분포를 써야한다 자유도는 N-1이니까 10이다

교수님이 부록으로 분포표를 시험지 끝에 써 주셔서 참고했다

실제 시험에서는 계산기 못 쓰게 하실 것 같은데 걱정된다

드디어 OLS 나왔다

지금까지는 옛날에 배운 내용이라 너도나도 잘한다

다시 문제로 돌아와서 저번 게시글에도 말했듯이 계량에는 5가지 기본 가정이 있다고 했다...

carefully 조심스럽게 설명하랬지만... 그냥 간단하게 했다...

OLS 구하는 과정을 보이라는 말인거같다

ols는 e'e를 가장 작게 하는 estimator이다

가장 작게 하려면 1계 도함수를 0으로 만드는 값을 찾아야 하는데 그게 바로 베타OLS다 이말이야

프린트에 나와있는 정석대로 써봤다

저번에도 강조했듯이 MM과 OLS의 비슷한점을 비교하라고 시키셨다

그래서 나는 이렇게 썼다. 영어 시험인데 한국어로 써도 되는지 궁금했다

4번은 기본적인 개념을 물어보는 문제여서 할만했다

2 stage regression에 관한 문제가 나왔다

구글에 치면 사람들은 2sls 라고 많이 하던데... 어 지금 검색해보니까 조금 다른것 같기도 하다

잘 알아보고 배우도록 하자

이번 풀이는 자신이 없지만 아무튼 계수비교를 통해 T를 구할 수 있긴 하다

reparametrization 부분을 참고하면 될 것 같다

a ols를 구하고 b ols를 구하면 된다

아까 구했던 W=XT를 이용해야한다

OLS 공식에 각 식에 들어있는 변수 (b는 x , a는 w)를 집어넣은 다음 아지막에 w는 xt로 바꿔주면

아까(a)에서 구했던 관계랑 같은 관계가 나온다

프로젝션 P 공식을 기억해내면 된다

아까처럼 x랑 w를 각각 넣어서 구한다음 w를 xt로 바꾸면 놀랍게도 p1이랑 p2가 같은 것을 알 수 있다

p랑 직교하는 q를 구하란다...

그려놓은 것 같이 Py + Qy = y 이므로

py를 이항해서 y를 나눠주면 Q =I - P임을 알 수 있다

도형... 그래프를 이용해서 설명해야한다

P는 위에서, Q는 옆에서 빛을 쏴 그림자를 구하는 프로젝션이다

X는 X축 위에 놓여있는 막대기라고 생각하면 된다 X축위에 놓여있는 막대기에 P 방향으로 빛을 쏘면

당연히 똑같은 사이즈의 그림자가 생긴다 그래서 PX=X

반대로 X축에 놓여 있는 막대기에 옆으로 빛을 쏘면 그림자는 생기지 않는다( 막대기의 두께는 신경쓰지 않는다)

그래서 QX=0

e햇은 Y축 위에 놓여있는 (붙어있는) 그림자이다. 햇이 붙으면 그림자임

e햇을 구하려면 y에다가 Q방향으로 빛을 쏘면 된다

지금보니 그림을 저렇게 그리기보다 3차원으로 그려서 바닥을 X라고하고 높이를 Y라고 했다면 더 좋았을 것 같다

3차원 그래프는 지난 게시글을 참고하자

이렇게 2011 중간 기출이 끝이 났다

체감 난이도는 쉬움 정도? 다만 개념을 외워서 쓰는게 많아서 나는 잘 못봤을 것 같다

다음엔 2012를 풀어보자

02. OLS part2

최우디 — Wed, 29 Apr 2020 17:22:29 +0900

틀린부분도 많고 비약도 많으니 대충 이런 느낌이구나 하시고 정확한 내용은 교수님의 책을 참고하십시오

projection이라는 개념을 알아보는게 이번 단원의 핵심이다

projection이 무엇이냐 Py =xB를 만족하는 P가 바로 프로젝션이다

간단하게 어떤 느낌이냐면 y 속에서 x와 관한 부분을 끄집어 내는 느낌이다

말로만 하면 이해가 안될텐데 그래프로 알아보면 좀 쉽다

projection은 한국어로 투영이라는 뜻이 있듯이

y에다가 빛을 쏴서 그 그림자를 얻어내는 작업이 프로젝션이다

그림출처:https://qastack.kr/stats/263324/how-can-the-regression-error-term-ever-be-correlated-with-the-explanatory-variab

회귀 오차 항이 설명 변수와 어떻게 연관 될 수 있습니까?

qastack.kr

이 그림은 3차원으로 그려져있는데.. 3차원에는 x y z 축이 있듯이 그림속에는 R(x1)축 R(x2)축 N(x)축이 있다

이때 Y는 R방향으로 조금 N방향으로 조금씩 이동해서 제3의 길을 가고 있는 화살표다

그럼 3차원 공간을 돌려가며 상상하라

이 공간 위에서 곧장 아래로 후레쉬를 비추면 P와 같은 방향으로 빛이 나아갈것이다

이때 공중에 뻗어있는 Y 때문에 파란색 바닥에 그림자가 생기게 될텐데

그걸 fitted Y라고 한다

정리하자면 Py = fitted Y인 셈이다

프로젝션은 P 말고도 Q가 있다. Q는 P와 orthogonal한 프로젝션이다 즉 직교한다는 뜻이다

p가 위에서 아래로 쏘는 빛이었다면 Q는 옆쪽에서 벽으로 쏘는 빛이라고 생각하면 된다

그림에서 Q방향으로 빛을 쏜다면 공중에 뻗어있는 Y의 높이만큼, 즉 Residual e 길이의 그림자가 벽에 생기게 될 것이다

그래서 Qy = e 임을 알 수 있다

orthogonal한 두 벡터의 곱은 0이라는 특징이 있는데

P랑 Q는 orthogonal한 벡터이므로

요런 성질이 있다

p제곱이 왜 p로 바뀌냐면 p랑 q 같은 projection은 idempotent matrix라고 (멱등행렬?) 제곱해도 원래 값이 나오는 특이한 행렬이기 때문이다

M이 symmetric하다면, 즉 대각선을 기준으로 위아래가 대칭이라면 M이나 M'이나 같으니까 M'M=M이라는 식도 만족한다

P랑 Q가 뭔지는 대충 알아봤으니 이제 구체적으로 P를 구해보도록 하겠다

그림에도 나와있듯이 x랑 e는 orthogonal한 관계임을 알수있다

그래서 x'e=0 이라는 식을 앞으로 계속 이용하게 될테니 잘 기억해두자

y= xB+ e 라는게 원래 regression 기본형태니까 이항해서 e= y-xB인 것도 알아둬야한다

그래서 e에다가 대입한다음 B만 남기고 나머지를 오른쪽으로 다 이항하면 B를 구할 수 있다 (저번에 봤던 MM, OLS estimator랑 똑같음)

y를 프로젝션하면 뭐가나왔는지 기억하고 있나? Py= xB가 나왔었다

아까B 구한거에다가 x를 곱해주면 xB=Py가 나오는 것이다

Py는 P랑 y랑 곱해져 있는 거니까 양 변을 y로 나눠주면 P=어쩌고 꼴이 나오겠다

바로 이렇게. P구하기 끝

나누기 x'x는 곱하기 x'x^(-1) 이니까 이런식으로도 쓸 수 있겠다

이번에는 P에 관해서 자주 쓰이는 정리들을 알아보자

x를 프로젝션하면 당연히 x가 나온다

왜냐하면 x는 바닥에 딱 붙어있는 막대기라고 생각하면 되는데

위에서 아래로 (P방향으로) 빛을 쏘면 딱 붙어있으니까 그림자랑 막대기랑 똑같기 때문이다

반대로 바닥에 붙어있는 막대기를 옆쪽에서 벽으로 빛을 쏜다면 (Q방향으로 프로젝션) 그림자는 생기지 않을것이다

그래서 Qx=0 인 셈 (I-P = Q)

두번째 줄은 계속 했던 P방향 Q방향으로 프로젝션하는 얘기고

세번째 줄은 첫번째 줄과는 반대되는 이야기이다

그니까 벽에 붙어있는 막대기를 위에서 아래로 빛을 쏜다면 벽에 붙어있으니까 바닥에는 그림자가 안생기게 된다

그 반대로 벽에 있는 막대기에다가 옆에서 벽쪽으로 빛을 쏴보면 그림자=막대기가 될 것이다

Reparametrization에 관한 내용을 알아보자

한국어로 재매개화라고 한다. 파라미터를 다른걸 써서 똑같은 식을 표현한다는 내용

첫번째 식이랑 두번째 식이 같다면

중딩때 항등식 비교 하던 것 처럼 x1이랑 x2의 계수는 같은걸 이용해서 풀면 이런 식을 얻을 수 있다

라고 한다면 (B랑 a는 칼럼벡터)

T는 이렇게 될 것이다 (행렬 곱셈 해보면 된다)

왼쪽식과 오른쪽 식이 같다면

이 성립한다

W=XT를 이용하면 a의 ols랑 B의 ols도

이렇다는걸 증명할 수 있다

T를 왼쪽으로 이항한다면

식이 나온다

이후에 fitted y1하고 y2가 같은걸 보여라 그리고 a랑 B가 같은걸 보여라라는 예시가 나오는데

나중에 ps(problem set)에도 똑같은게 나오니까 그때 설명하는걸로

마지막으로 two-step regression이다

복잡한 regression을 해결하기 위해서 두단계로 쪼개서 해결하는 내용이다

나는 B2를 알고 싶은데 B1이 거슬린다

그러면 그냥 이런식으로 바꿔써서 B2를 구해버리는 방법은 없을까?

이렇게 변수한개를 날려버릴려면 기존에 있던 x1의 영향을 깨끗하게 지워줘야 한다

y를 크게 두부분으로 나누자면 한덩이는 x1이랑 관련되어있는 부분(노랑) 나머지는 x1이랑 관련 없는 부분(파랑)이다

X2에도 X1이랑 관련있는 부분이랑 없는 부분이 있을 수 있다

요런 식으로 쓰려면 y대신에 X1의 영향력이 지워진 y* X1의 영향력이 지워진 X2* 를 써야한다

그러면 이렇게 된다. 그 식에서 B는 아까 식 B랑 다른거니까 B햇이라고 안하고 B틸다라고 한다(~를 틸다라고 읽음)

아무튼 돌아가서 그러면 어떻게 X1의 영향을 지워내느냐

그것은 바로 프로젝션Q를 이용하는 것이다

아까 y에다가 Q 쏘면 e 나온다고 얘기했는데 그 말은 즉슨

Q는 Y에서 X랑 관련없는 부분(e)를 결과로 갖고

P는 Y에서 X랑 관련있는 부분(xB)를 결과로 갖는다는 얘기다

y*는 X1이랑 관련없는 y의 부분이니까 Q1(X1에 관련된 Q라서 Q1이라고 씀)을 y에 쏘면 y*를 얻을 수 있다

X2*도 Q를 이용해서 구해준다

그래서 아까식

여기에 들어갈 y* x*를 다 구했으니 OLS를 이용해서 B틸다를 구해보자

짜자잔

물론 이런식으로도 쓸 수 있다

P에 대한 정리들이니까 모르는 게 없는지 체크해보자

이번엔 e에 관한 특징이다 읽어보고 알고있는 건지 체크해보자

X'e=0 인걸 까먹으면 안된다

마지막으로 B1을 구한다음 B2를 구하는 방법을 알아보자

B1에 대해서 정리를 해야한다 그래서 B2는 왼쪽으로 넘기고 양변에 X1'을 곱해줘서 오른쪽에 남아있던 e도 없앴다

B1의 계수를 이항해주면 끝이다

이런 식에서 B를 구하라는 문제가 나올 수 있는데

이때는

이 개념을 잘 이용해야 된다

추가로

이것도 이용해야한다

ㄴ같이 생긴 기호는 이오타라고 읽는데 모든 원소가 1인 Nx1 칼럼벡터이다

끝!